Capítulo 1 · checkpoint al final
Antes de singularidades: qué se conserva, de dónde sale cada término, y qué cambia al encender la viscosidad. La simulación de abajo es una solución exacta (Lamb–Oseen), no un DNS.
En lugar de seguir moléculas, se describe un campo de velocidad
u(x,t) y una densidad ρ(x,t). Una
parcela es un trozo de continuo que se mueve con el flujo.
La derivada material (aceleración de esa parcela) es
Du/Dt = ∂t u + (u·∇)u
El primer sumando es el cambio en un punto fijo; el segundo, el cambio porque la parcela se ha desplazado. Ese segundo término es no lineal y es el origen de casi toda la dificultad.
Conservación de masa:
∂t ρ + ∇·(ρ u) = 0
Si ρ es constante (agua, aire a bajo Mach, el régimen de
Clay), queda ∇·u = 0: el volumen de cada parcela se
conserva. No puedes comprimir en una dirección sin estirar en otra.
Eso es la incompresibilidad. La presión deja de ser termodinámica
y pasa a ser el multiplicador de Lagrange que impone ese vínculo.
Newton para la parcela: masa × aceleración = fuerzas de superficie +
volumen. Si el tensor de tensiones es solo presión isotrópica
σ = −p I,
∂t u + (u·∇)u = −∇p + f , ∇·u = 0
Eso es Euler incompresible (con fuerza externa f, a menudo
cero). No hay fricción interna: las parcelas resbalan sin resistencia
al cizallamiento. Leonhard Euler lo escribe en 1755.
Un fluido real resiste el shear. El modelo newtoniano incompresible
añade al tensor una parte viscosa proporcional al tensor de deformación.
Su divergencia es lineal en u:
∂t u + (u·∇)u − ν Δu + ∇p = f , ∇·u = 0
ν > 0 es la viscosidad cinemática. El término
ν Δu suaviza gradientes (difunde vorticidad).
Navier lo motivó con un modelo molecular; Stokes fijó la forma constitutiva
que usamos. En 2D esto basta para impedir singularidades clásicas. En 3D
no se sabe (problema del milenio, y solo al final del curso).
ν → 0. Ese límite es singular:
no puedes ser ingenuo y pasar una solución de Euler a NS o al revés
cerca de un blowup. El paper de OpenAI construye un objeto
viscoso desde el principio.
Transporte e inercia. Estira, pliega, concentra. No lineal.
Mantiene ∇·u = 0. Instantánea, elíptica (un Poisson por tiempo).
Fricción interna. Lineal. Compite con la concentración de gradientes.
Fuerza externa. En Clay A/B es cero. En C/D puede ser suave.
El vórtice de Lamb–Oseen es solución exacta de NS 2D (y de Euler
si ν = 0). La vorticidad es un gaussiano cuyo ancho crece
como √(ν t):
ω(r,t) = (Γ / (4π ν (t+t0))) exp( −r² / (4ν(t+t0)) )
Con ν = 0 el perfil se congela (Euler). Con ν > 0
el mismo momento angular se reparte en un disco cada vez más grande:
‖ω‖∞ baja, el gradiente se suaviza. Eso es, en una frase,
lo que la viscosidad “sabe hacer” cuando no hay estiramiento 3D.
Color: vorticidad. Las rayas siguen el swirl. Área del “núcleo” crece solo si ν > 0.
Primero el quiz. Si está perfecto, vuelve al chat y escribe
checkpoint 1. Ahí te haré preguntas abiertas.